Latest paper: How to run 100m? A paraître dans Siam Journal of Applied Mathematics, 2017.

Notre modèle mathématique permet, du 100m au marathon, de prédire comment l'effort humain s'organise pour courir et produire la meilleure performance. Les physiologistes savent, d'après l'expérience, qu'une course de durée inférieure à 3mn se courent avec une très forte accélération initiale, puis une décélération, tandis que les courses supérieures à 3mn se courent avec un sprint final. Ceci peut être expliqué et justifié grâce à un système d'équations différentielles couplant la vitesse, l'énergie anaérobie et la force de propulsion, tout en prenant en compte les sources d'énergie aérobie via la VO2. Des simulations numériques sur des champions pour des  100m, 400m, 800m et 1500m permet de vérifier que le modèle décrit bien la réalité.

Record du monde sur 800m, JO Londres 2012 (D.Rudisha): mesures de vitesse moyenne tous les 100m (carrés rouges) en m/sec comparées au calcul moyenné tous les 100m (étoiles bleues).


Organisatrice et conférencière lors de la conférence Math et sport, Institut Henri Poincaré, Mars 2016.


Papiers précédents:

A.Aftalion, L-H.Despaigne, A.Frentz, P.Gabet, A.Lajouanie, M.-A. Lorthiois, L.Roquette, C.Vernet,    How to identify the physiological parameters and run the optimal race, Mathematics in Action, Vol. 7, 2016.

Nous établissons un protocole qui permet de déterminer les paramètres mathématiques d'un coureur: VO2max, force maximale, coefficient de frottement et énergie anaérobie, Le protocole consiste à courir un 80m et un 1600m.
Ensuite par un système d'équations différentielles couplées, cela donne accès à la vitesse, force de propulsion et énergie dépensée lors d'une course. 

A.Aftalion-F.Bonnans, Siam Journal of Applied Mathematics, 2014: Optimization of Running Strategies Based on Anaerobic Energy and Variations of Velocity

A partir d'équations mathématiques,  nous avons développé avec  F.Bonnans,  chercheur à l’inria, un modèle qui est  capable de prédire comment doit se dérouler la course optimale, une fois qu’on a décidé de la distance à parcourir. Nous savons calculer à chaque instant, la vitesse que doit avoir le coureur et l’énergie qu’il a dépensé depuis le début de la course. Pour des courses allant du 400m au marathon, nos résultats amènent en particulier à 2 conclusions qui renforcent certaines observations physiologiques :

* le negative split: il vaut mieux courir la 2ème partie de la course plus vite que la première
*il faut varier sa vitesse, ce qui permet de gagner par exemple 0.7% sur 800m. En effet, quand on ralentit, on recrée un peu d'énergie, ce qui permet d'améliorer son temps de course.

Sur les marathons par exemple, les coureurs sont invités à choisir une couleur en fonction de leur temps de course espéré (2h30, 3h, 4h, 5h etc). Cette couleur est associée à un ballon ou lièvre qui va se déplacer à vitesse constante pour arriver à la fin de la course dans le temps escompté. Et pourtant, tout coureur qui a couru un marathon s’est rendu compte qu’il avait envie de varier sa vitesse, en accélérant puis ralentissant. Oui, c’est normal, c’est ainsi que l’organisme arrive à régénérer un peu d’énergie.

Comment arriver à calculer à chaque instant la vitesse et l'énergie disponibles pour un coureur? Cela nécessite un système d’équations différentielles, c’est-à-dire des équations reliant la vitesse (et sa dérivée l’accélération), la force de propulsion, les forces de frottement et l’énergie. Les équations reposent sur le principe fondamental de la dynamique et des bilans d’énergie faisant intervenir notamment VO2max, la consommation maximale d’oxygène du coureur, et les liens de contrôle entre ces variables : par exemple, la recréation d’énergie quand on ralentit. Pour être bien posé, le système est couplé à des conditions initiales (vitesse nulle et énergie donnée au départ) et des contraintes : l’énergie doit rester positive, la force de propulsion aussi (on ne recule pas !) et cette force est bornée par les capacités limitées du coureur ; enfin la dérivée de cette force de propulsion est bornée aussi car les informations ont besoin de temps pour passer du cerveau à la jambe : le coureur ne peut pas instantanément comme un ordinateur, passer d’une force de propulsion maximum à l’arrêt complet. Le travail de modélisation consiste à bien poser ce système. Mathématiquement, nous arrivons à prouver des théorèmes sur le comportement des solutions. En particulier, quand on rajoute un terme de recréation d'énergie due au ralentissement, on se rend compte que cela crée des termes concaves dans le hamiltonien qui sont à l'origine des oscillations de vitesse. Enfin, numériquement, nous sommes capables de résoudre ce système d’équations pour calculer les valeurs de toutes les variables intéressantes pour le coureur et les relier aux mesures physiologiques. Nos simulations numériques nécessitent une programmation complexe et jamais réalisées sur ce type d'exemples. Elles utilisent le logiciel  Bocop, qui nous a permis de résoudre le système d'équations différentielles couplées, sous contraintes, et avec contrôle optimal. 

A quoi cela pourrait-il servir ? On se pose souvent la question de : à quoi servent les mathématiques? Les  applications en sont pourtant immenses. Dans le cas de la course à pied, on pourrait, à partir des équations que nous avons établies, imaginer un logiciel qui calcule sur un smart-phone
*la vitesse optimale de course et donne des indications au coureur sur des bases scientifiques
* la dépense énergétique et permet de voir comment elle aurait pu être meilleure. On peut alors savoir exactement le nombre de calories perdues lors d'une course, et pas avec une estimation moyenne comme le font tous les calculs actuels, mais véritablement avec un calcul exact instantané.




A gauche : sur un 1500m, profil de vitesse sans prendre en compte la recréation d'énergie quand  on ralentit (on tient juste compte de la chute du VO2max en fin de course quand la réserve d’énergie anaérobie est trop faible)

A droite : quand on prend en compte la recréation d’énergie en ralentissant, la vitesse oscille.


Un article grand public paru dans le Huffington Post : Des mathématiques au coaching personnalisé

Huffington Post How to Improve Running -- With Mathematical Equations